Question

已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=2,且c>0,求证c≥2。

Answer 1

证明：∵a+b+c=0,abc=2
∴a+b=-c，①
ab=2/c，②
∵c>0
∴a<0，b<0
则有a²+b²≥2ab
将①式两边平方得，a²+b²+2ab=c²
∴c²≥2ab+2ab
将②代入上述不等式，得c²≥8/c
c³≥8
∴c≥2

Answer 2

a+b+c=0
c=-(a+b)>0
所以 a+b<0
而 abc=2
ab=2/c>0
所以 a,b<0
所以 c=|a|+|b|
2/c=ab<=(|a|+|b|/2)^2=(c/2)^2
即 c^2/4>=2/c
c^3>=8
所以 c>=2