Question

高一数学题。要过程。

1.在等比数列an中，a5*a6*a7=3，a6*a7*a8=24,a7*a8*a9等于多少？
2.如果 一个等比数列前五项和等于10，前十项和等于50，那么它前15项和等于多少？

Answer 1

1.在等比数列an中，a5*a6*a7=3，a6*a7*a8=24,a7*a8*a9等于多少？
解：(a₆ a₇ a₈)/(a₅a₆ a₇ )=a₈/a₅=a₅q³/a₅=q³=24/3=8,∴q=2.
a₅a₆ a₇=(a₅)³q³=3, 故a₅=(3/8)^(1/3)=(∛3)/2
∴a₇ a₈ a₉=(a₅q²)(a₅q³)(a₅q⁴)=(a₅)³(q⁹ )=(3/8)×2⁹=3×2⁶=3×64=192.
2.如果 一个等比数列前五项和等于10，前十项和等于50，那么它前15项和等于多少？
解：S₁ℴ/S₅ =q⁵+1=5,故q⁵=4
S₅=a₁(q₅-1)/(q-1)=a₁(4-1)/[4^(1/5)-1]=3a₁/[4^(1/5)-1]=10
故a₁=10[4^(1/5)-1]/3
∴S₁₅={(10/3)[4^(1/5)-1](q¹⁵-1)}/(q-1)={(10/3)[4^(1/5)-1](64-1)/[4^(1/5)-1]=(10/3)×63＝210

Answer 2

1.a5*a6*a7=3，a6*a7*a8=24,所以，a8/a5=24/3=8
等比数列，所以a9/a6=a8/a5=8
a7*a8*a9=(a6*a7*a8)*(a9/a6)=24*8=192
2.设：a2/a1=x
a1(1+....+x^4)=10
a1(1+....+x^9)=50
所以，10+a1*x^5*(1+....+x^4)=10+10*x^5=50
x^5=4
前15项和=a1(1+....+x^14)=a1(1+....+x^9)+a1*x^10(1+....+x^4)=50+10*4^2=210

Answer 3

1.a6*a7*a8=a5*q*a6*q*a7*q=a5*a6*a7*q³=3q³=24
所以公比q=2
a7*a8*a9=a6*q*a7*q*a8*q=24*2³=192
2.S5=10=a1*(1-q^5)/(1-q)
S10=50=a1*(1-q^10)/(1-q)
所以10/50=(1-q^5)/(1-q^10)
则(q^5)²-5*q^5+4=0
(q^5-1)(q^5-4)=0
解得q^5=1或q^5=4
当q^5=1时，S5=5a1=10,a1=2,S10=10a1=20≠50,故q≠1
当q^5=4时，S5=a1*(1-q^5)/(1-q)=a1*(-3)/(1-q)=10,所以a1/(1-q)=-10/3
S15=a1*(1-q^15)/(1-q)=a1/(1-q)*(1-q^15)=-10/3*[1-(q^5)³]=-10/3*(1-q^5)(1+q^5+q^10)
=-10/3*(1-4)*(1+4+4²)=210
即S15=210

Answer 4

1.解：∵a5*a6*a7=3，a6*a7*a8=24
∴(a6)³=3，(a7)³=24=3×8，
∴(a8)³=3×8×8=192，
∴(a7*a8*a9)=(a8)³=192，
2.解：∵S5=10，S10=50
∴S10-S5=40，
于是（S10-S5）/S5=4
（S15-S10）/S5=4² =16
∴S15-S10=160
∴S15=160+S10=210

Answer 5

1. 192
数列an成等比数列，则数列an*a（n+1）*a（n+2）亦成等比数列本题其比值为24/3，则a7*a8*a9=24/3*24=192
2. 210
数列an成等比数列,则数列an+a（n+1)+a(n+2)+a(n+3)+a(n+4)亦成等比数列，则有
a11+a12+a13+a14+a15=（a6+a7+a8+a9+a10）/(a1+a2+a3+a4+a5)*(a6+a7+a8+a9+a10)
=(50-10)/10*(50-10)
=160
则有 S15=50+160=210