Question

高中数学：设函数f(x)=(1+x)^2-In(1+x)^2,若关于的x的方程f(x)=x^2+x+a在[0,2]上恰有两个相异的实根，...

高中数学：设函数f(x)=(1+x)^2-In(1+x)^2,若关于的x的方程f(x)=x^2+x+a在[0,2]上恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

Answer 1

化简得x+1-a=2ln(1+x)。即直线y=x+1-a与曲线y=2ln(1+x)在[0,2]上有两个交点。画图可知，a的最小值很好求，即直线与曲线的一个交点为（0，0）。得a≥1。最大值求法这里写不下（你手机），值为2-2ln2。故1≤a≤2-2ln2

Answer 2

解：若f（x）=x2+x+a
即（1+x）2-ln（1+x）2=x2+x+a
即x-a+1-ln（1+x）2=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2
则g'（x）=x-1 /x+1

令g'（x）＞0，得x＞1，或x＜-1
令g'（x）＜0，得-1＜x＜1
∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
若方程f（x）=x2+x+a在x∈[0，2]上恰好有两个相异实根，则
g(0)≥0g(1)＜0g(2)≥0
解得2-2ln2＜a≤3-2ln3
故答案为：（2-2ln2，3-2ln3]

Answer 3

2ln3-3<a<2ln2-2

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