Question

证明矩阵可逆，并求出逆矩阵的问题？急急急！

设方阵A满足A的平方-A-2E=O，证明：A及A+2E都可逆，并求它们各自的逆矩阵。
你们的答案都是一样滴~~~谢谢啦！我做出来啦！嘿嘿~~~才刚刚开始学矩阵，不好意思哈！

Answer 1

A²-A-2E = A(A-E)-2E=0
即 A(A-E)=2E
A * (A-E)/2 =E
所以A可逆，且逆阵为 (A-E)/2

而 A²-A-2E =(A+2E)(A-3E)+4E=0
即(A+2E)(A-3E)=-4E
(A+2E) * -(A-3E)/4=E
所以(A+2E)可逆，且逆阵为 -(A-3E)/4

Answer 2

对于A，根据条件，可知A²-A=2E，故A（A-E)=2E，即A[1/2(A-E)]=E，即A可逆，其逆矩阵为
1/2（A-E）；
对于A+2E，根据A²-A=2E得到A²=A+2E（*），由于前面已经求得A的逆矩阵为1/2（A-E），于是，在（*）两边右乘[1/2(A-E)]²，则左边变为E，故E=(A+2E)(1/4)(A-E)²，从而，A+2E的逆矩阵为1/4(A-E)²

Answer 3

由A^2-A-2E=0知A^2-A=2E
所以A*(A-E)/2=E
所以A可逆，逆为(A-E)/2

由A^2-A-2E=0知A^2=A+2E
由A可逆知A^2可逆
所以A+2E可逆，逆为[(A-E)/2]^2=(A-E)^2/4

Answer 4

A*A-A-2E=O A*(A-E)=2E A*(A-E)*1/2=E
故A可逆 逆矩阵为(A-E)*1/2
A*A=A+2E 因为A可逆 两侧都乘以两次A的逆矩阵，左侧变为E
故A+2E可逆 逆矩阵已经出来了 表达式不好敲到这里

Answer 5