Question

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且a2n+1=(a2n-a2n-1)/2,a2n+2=根号下(a2n+1a2n)(n=1,23，...)试求{an}的通项

Answer 1

a3=1/2,a4=1
a5=1/4,a6=1/2
a7=1/8,a8=1/4……
猜想：a2n-1＝(1/2)^(n-1),n=1,2,3,4...
a2n=(1/2)^(n-2),n=1,2,3,4...
证明：n＝1时，二者都成立，
假设n＝N时候成立，a2N-1＝(1/2)^(N-1),n=1,2,3,4...
a2N=(1/2)^(N-2),n=1,2,3,4...
侧当n＝N＋1时，a2N＋1＝（a2N－a2N－1）/2=(1/2)^N,满足猜想。
a2N+2=根号下(a2N**a2N＋1）＝(1/2)^(N-1),满足猜想。
所以猜想：a2n-1＝(1/2)^(n-1),n=1,2,3,4...
a2n=(1/2)^(n-2),n=1,2,3,4...
成立。

追问

可改进为an=当n为奇数时（1/2）^(n-1)/2;当n为偶数时(1/2)^(n-4)/2,然后用数学归纳法证明.因为通项最多可以用分段函数表示.你认为如何.

追答

你说的没有问题，其实我表达的是一个意思啊。n=2N就是偶数，n=2N-1就是奇数。

Answer 2

由已知得：
a1=1
a2=2
a3=(a2-a1)/2=1/2
a4=√（a3*a2）=1
a5=(1-1/2)/2=1/4
a6=1/2
a7=1/8
a8=1/4
a9=1/16
……
由此总结：（可用数学归纳法证明，在此有字数限制，不做证明忘谅解）
当n为奇数时，an=1/{2^[(n-1)/2]}
当n为偶数时，an=1/[2^(n/2-2)]
即奇数项之间组成的数列是以1为首项，1/2为公比的等比数列
偶数项之间组成的数列是以2为首项，1/2为公比的等比数列

Answer 3

a1=1,a2=2,a3=1/2,a4=1,a5=1/4,a6=1/2 a7=1/8 a8=1/4 a9=1/16,a10=1/8
a2n+1=(1/2)^n=2^(-n)=2^(-n) *(√2)^[1+(-1)^n]
a2n=2*2^(-n)=2^(-n)*(√2)^[1+(-1)^n]
an=2^(-n)*(√2)^[1+(-1)^n]

追问

次方写清楚点好吗？

追答

an=2^(-n) * (√2)^[1+(-1)^n]

Answer 4

写出前9项就能看出奇数项，偶数项的规律了

追问

这是解答题，可以不证吗？