Question

设函数f(x)=x^2 -a^x，当-1<x<1时，均有f(x)<0.5，求a的取值范围

http://zhidao.baidu.com/question/172229190.html
这个解法有点小问题 我需要新的解答 请高手解答（事先约定a>0而且a≠1）

Answer 1

此题可采用构造函数的方法 数形结合及恒成立有关知识解决。
原题即为x^2-a^x＜1/2，即x^2-1/2＜a^x在(-1,1)上恒成立，
构造函数g(x)=a^x,h(x)=x^2-1/2.
易知h(x)在(-1,1)上的值域为(-1/2,1/2),
所以只需满足g(±1)≥1/2,即可满足g(x)＞h(x)在(-1,1)上恒成立.
当0＜a＜1时，g(x)为减函数，g(1)≥1/2,a≥1/2,
当a＞1时，g(x)为增函数，g(-1)≥1/2,a≤2.
综上，当a∈[1/2,2]时，g(x)＞h(x)在(-1,1)上恒成立，即
f(x)=x^2 -a^x，当-1<x<1时，均有f(x)<0.5，

Answer 2

f(x)=x^2 -a^x，令g(x)=x^2 ，m（x）=f(x)=a^x，则f(x)=g(x)-m(x),画出g(x)，m(x)的图形，一下就能判断出来。（1）当0＜a＜1，-且1<x<1，f（x）的最大值为f（1）=1-a <0.5 ，此时a＞0.5,又因为0＜a＜1，所以0.5＜a＜1,又因为f（1）这个点是取不到的，所以a=0.5的时候也满足条件所以0.5≤a＜1
（2）当1＜a，-且1<x<1，f（x）的最大值为f（-1）=1-1/a <0.5，a＜2，1＜a，所以 1＜a＜2，同时a=2时也满足条件。且a=1的时候也满足条件
综上所述 a的取值范围为 0.5≤a≤2

这里的关键是分情况讨论，因为a^x为指数 所以要分成3种情况讨论

Answer 3

设函数f(x)=x^2 -a^x， f'(x)=2x-a^xlna
(1) 0<a<1时 ,lna<0, f'(x)>0 只要f(1)<=0.5 即1-a<=0.5 即可 所以 0.5=<a<1
(2)a>1时，x^2<1,且 a^x>a^-1 且在X=-1时同时取， 故1-1/a<=0.5 ==>1<a<2

所以 0.5=<a<=2

Answer 4

0.5＜a＜2