Question

已知，m∈R，函数f(x)=(X²+mX+m)e^x,当m=0时，求证：f(x)≥X²+X³

Answer 1

m = 0 时
f(x) = x^2 * e^x

求证：f(x)≥x^2+x^3 = x^2(x+1) 只需要证明
e^x > x + 1

设 h(x) = e^x - x - 1 , 现在要证明 h(x) 最小值 大于等于 0
h'(x) = e^x -1
另 h'(x) = 0 , 求 h(x) 极小值
e^x - 1 = 0
x = 0 处取极小值
h(0) = e^x - x - 1 = 1 - 0 - 1 = 0
而在 x < 0 一侧, h'(x) = e^x - 1 < 0
在 x > 0 一侧, h'(x) = e^x - 1 > 0
因此 x= 0 处的极小值 也是 h(x) 的最小值
h(x) = e^x - x - 1 ≥ 0
x^2 e^x ≥ x^2(x+1)
f(x)≥x^2 + x^3

参考:
当m=0时,f(x)=x²e^x,由于F(x)=x²e^x-(x²+x³)=[e^x-(1+x)]x²≥0
当x=0时,F(0)=0, X≠0时,F(x)>0,这是因为y=1+x是y=e^x的切线,切点就是(0,1).且y=e^x是一条
向上凹的曲线,除去切点,其它点都在直线y=1+x的上方,故总有e^x-(1+x)≥0,又x²≥0,故必有
F(x)=x²e^x-(x²+x³)=[e^x-(1+x)]x²≥0,于是e^x≥x²+x³ 得证.