Question

奥数，帮帮忙！！！SOS！！！

设a,b,c是不全相等的常数,若x=a^-bc,y=b^-ca,z=c^-ac,则x,y,z( )
答案：至少有一个大于0
求解题过程····

Answer 1

z应该等于c^2－ab
2(x＋y＋z)
＝2(a^2－bc)＋2(b^2－ca)＋2(c^2－ab)
＝2a^2－2bc＋2b^2－2ca)＋2c^2－2ab
＝(a^2－2ab＋b^2)＋(b^2－2bc＋c^2)＋(c^2－2ca＋a^2)
＝(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2
由于a、b、c不全相等
∴(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2＞0
∴2(x＋y＋z)＞0
即：x＋y＋z＞0
故x、y、z中至少有一个大于0

Answer 2

2x+2y+2z=a^-2ab+b^+b^-2bc+c^+a^-2ac+c^
=(a-b)^+(b-c)^+(a-c)^
2x+2y+2z>=0
因为a.b.c互不相等，所以2x+2y+2z>0，至少会有一个大于0

Answer 3

楼主的题目有误，应修改为x=a^2-bc,y=b^2-ca,z=c^2-ac：

因a.b.c互不相等，且x+y+z=a^2-bc+b^2-ca+c^2-ac=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}>0
所以 x，y，z至少有一个大于0

Answer 4

解：x＋y＋z＝a²＋b²＋c²－ab－ac－bc
2x＋2y＋2z＝2a²＋2b²＋2c²－2ab－2ac－2bc
＝（a²－2ab＋b²）（＋a²－2ac＋c²）＋（b²－2bc＋c²）
＝（a－b）²＋（a－c）²＋（b－c）²
∵a、b、c不全相等，
∴a－b、a－c、b－c不全为0.
又：（a－b）²≥0, （a－c）²≥0, （b－c）²≥0;
∴2x＋2y＋2z＝（a－b）²＋（a－c）²＋（b－c）²＞0
即： x＋y＋z＞0
∴x、y、z至少有一个大于0.

Answer 5

题目写错了，应该遵守轮换对称性，z应该等于c^2－ab
2(x＋y＋z)
＝2(a^2－bc)＋2(b^2－ca)＋2(c^2－ab)
＝2a^2－2bc＋2b^2－2ca)＋2c^2－2ab
＝(a^2－2ab＋b^2)＋(b^2－2bc＋c^2)＋(c^2－2ca＋a^2)
＝(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2
由于a、b、c不全相等
∴(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2＞0
∴2(x＋y＋z)＞0
即：x＋y＋z＞0
故x、y、z中至少有一个大于0