Question

定积分 ∫（x^3 -1)dx 上限是 1 下限是-1， 这个定积分怎么求？

定积分 ∫（x^3 -1)dx 上限是 1 下限是-1， 这个定积分怎么求？
为什么要把他分成 ∫（x^3 -1)dx（上限是 1 下限是0）＋ ∫（x^3 -1)dx（上限是 0 下限是-1） 这样来求？ 是因为瑕点的缘故吗？

到底应该在什么时候考虑瑕点？
比如说 ∫xdx (上限是1 下限是-1 )的积分也是要考虑暇点的吗？
但是答案说是0。 不知道书上是否错了？

Answer 1

“瑕点”是广义积分里才用到的东西
主要是出现无穷间断点时才会用到

题中的积分只是一个很普通的定积分
想必是答案错了

∫（x^3 -1)dx = (1/4)x^4-x+C
那么从-1到1的积分=[(1/4)-1]-[(1/4)+1] = -2

追问

恩 谢谢你的回答。
书上还有这么一个题 和刚才的基本类似，
∫（|x|^3 -1)dx (上限是1 下限是-1 ) = 2 ∫（x^3 -1)dx (上限是1 下限是0 )
这是怎么得到的？ 是根据函数图像的对称性吗？

追答

定积分的对称性要考虑到两方面的对称性:
1)被积函数的对称性, 2)积分区间的对称性

1)∫（|x|^3 -1)dx 中 f(x)=|x|^3 -1 是关于x的偶函数
2)积分区间[-1,1]关于原点对称
综合1)2)由对称性:
∫（|x|^3 -1)dx (上限是1 下限是-1 )
= 2 ∫（|x|^3 -1)dx (上限是1 下限是0 )
= 2 ∫（x^3 -1)dx (可以把绝对值去掉了,上限是1 下限是0 )

Answer 2

答案0.3保证对

Answer 3

没错吧。