Question

等比数列{an}中，若其前n项的和Sn=(2^n)-1，则(a1)^2+……+(an)^2=?有过程和答案

Answer 1

解：Sn=2^n -1,
S(n-1)=2^(n-1) -1,

an=Sn-S(n-1)
=2^n -1-[2^(n-1) -1]
=2^n-2^(n-1)
=2^(n-1)

an^2=2^(2n-2)=4^n/4,
a(n+1)^2=4^(n+1)/4,
a(n+1)^2/an^2=4
an^2是以a1^2=1为首项，4为公比的等比数列；

S=(1-4^n)/(1-4)
=(4^n-1)/3
=4^n/3-1/3

Answer 2

解：
设数列{an}首项为a1，公比为q
Sn=a1(q^n-1)/(q-1)=[a1/(q-1)]q^n-a1/(q-1)=2^n-1
对比，得
a1/(q-1)=1
q=2
解得a1=1 q=2
an=a1q^(n-1)=2^(n-1)
an^2=[2^(n-1)]^2=4^(n-1)
数列{an^2}是首项为1，公比为4的等比数列。
Tn=a1^2(4^n-1)/(4-1)=(4^n-1)/3