Question

高二数学证明题求解

已知：四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，M，N分别为AC，BD的中点。求证：MN⊥BD

Answer 1

你说的应该是空间四边形，连接BM，DM ，由于三角形ADC是一个直角三角形，M点又是AC中点，所以DM等于AC的二分之一，同理BM也等与AC的二分之一，在等腰三角形MBD中，由于D是BD中点，所以MN⊥BD

追问

不是空间的啦！是平面的，我死活就是想不出来那个图形……

追答

思想方法一样，也就是证明 MBD 三角形是等腰就可以了，也是利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

Answer 2

∠ADC+∠ABC＝90°+90°=180° 所以A，B，C，D四点共圆，并且由于∠ADC＝∠ABC＝90°
所以AC为该圆的直径，中点M即是圆心，在圆M中，N为弦BD的中点，所以MN⊥BD

Answer 3

想不出来就用向量吧，呵呵，以下向量符号省略了：
MN*BD=(MA+AB+BN)*BD
=(1/2CA+AB+1/2BD)*BD
=1/2(CB+AD)(BC+CD)
以上AD*CD=0，AB*BC=0
所以MN*BD=-1/2BC²+1/2（CB*CD+AD*BC）=-1/2BC²+1/2BC*AC=1/2BC*AB=0