Question

设自角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长c。若a,b,c均为整数，且c=(1/3)ab-(a+b),求满足条件的三角形

数。

Answer 1

由c=(1/3)ab-(a+b)得：ab=3(a+b+c)
设该三角形内接圆半径为r，则三角形面积S=½r(a+b+c)，又S=½ab,
故r(a+b+c)=ab=3(a+b+c)，得：r=3
对于直角三角形，有：c=a+b-2r 。得：c=a+b-6
则：ab=3(a+b+c)=3[a+b+(a+b-6)]=6a+6b-18
得：a=(6b-18)/(b-6)=[(6b-36)+18]/(b-6)=6+18/(b-6)
欲使a为正整数，须取b-6=1、2、3、6、9、18，即b=7、8、9、12、15、24 。
相应得到：a=24、15、12、9、8、7 ；c=25、17、15、15、17、25 。
综上所求，满足条件的三角形有三个：(7、24、25)，(8、15、17)，(9、12、15)。

追问

看不懂

追答

哪里看不懂？

追问

三角形面积s=1/2×r(a+b+c),又s=1/2(ab)

追答

三角形面积=1/2×内接圆半径×三角形周长，直角三角形面积=1/2×两条直角边乘积。

追问

三角形面积=1/2×内接园半径×三角形周长，没学过

追答

没学过可以试着证明一下（你自己画一下图）。
将内接圆圆心与三角形的三个顶点分别连接，则三角形被分为共同以圆心为顶点的三个小三角形；
再分别连接圆心与三条边的切点，该连线即是三个小三角形的高，其值均为内接圆半径r。所以三个小三角形的面积分别为：1/2ar、 1/2br、 1/2cr 。
则：大三角形面积S=三个小三角形面积之和=1/2ar+1/2br+1/2cr=1/2r(a+b+c) 。

Answer 2

7，24，25

Answer 3

c=(1/3)ab-(a+b) c^2=[(ab)-(a+b)]^2 ……（1） 直角三角形 c^2=a^2+b^2……（2） 联解方程（1）（2） 得出a=(6b-18) /(b-6) a,b,c均为整数 b=9 a=12 c=15 当然还有 a,b互换。依次类推找出符合要求的b 即可！