Question

菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF。

若∠B=60°，点E、F分别为BC、CD中点，求证：△AEF为等边三角形。（要图片的话，给我留言一下。）

Answer 1

（2008•宜宾）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．
（1）求证：AE=AF；
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形．

分析：
（1）由菱形的性质可得AB=AD，∠B=∠D，又知BE=DF，所以利用SAS判定△ABE≌△ADF从而得到AE=AF；
（2）连接AC，由已知可知△ABC为等边三角形，已知E是BC的中点，则∠BAE=∠DAF=30°，即∠EAF=60°．因为AE=AF，所以△AEF为等边三角形．
解：
（1）由菱形ABCD可知：
AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；（4分）

（2）连接AC，
∵菱形ABCD，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BAD=120°
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一的性质）
∴∠BAE=30°，同理∠DAF=30°
∴∠EAF=60°，由（1）可知AE=AF
∴△AEF为等边三角形

Answer 2

ABCD是菱形，EF是中点，所以由对称性知AE=AF
由于∠B=60°，所以∠C=120°，设菱形边长为2a，则BE=CE=CF=FD＝a
由余弦定理AE²=AB²+BE²-2*AB*BE*cos60°，所以AE=√3a
FE²=CE²+CF²-2*CF*CE*cos120°，所以EF=√3a=AE
所以AE=AF=EF，所以△AEF为等边三角形