Question

高中数学，导数！！！高手速来！！！

f（x）=4x+ax^2-(2/3)x^3 （x属于R) 在[-1，1]上为增函数， 求a的范围
解：
f(x)=4x+ax^2-2x^3/3, x∈[-1,1]上是增函数
故f'(x)=4+2ax-2x^3≥0在[-1,1]内恒成立

而f'(x)是一个开口向下的抛物线，它在[-1,1]恒大于等于0的条件是
f'(1)≥0且f'(-1)≥0
因此4+2a-2≥0且4-2a-2≥0
解得-1≤a≤1
故a∈[-1,1]

在下想问问，a为什么可以取等号啊？如果a=-1，那么f（x）的增区间是（-1，1）啊！！！

Answer 1

a为什么可以取-1，是由这两步决定的
f(x)=4x+ax^2-2x^3/3, x∈[-1,1]上是增函数
故f'(x)=4+2ax-2x^3≥0在[-1,1]内恒成立
也就是大于等于零恒成立，等于零的时候，就是该点斜率为零，这个时候是要考虑进去的
a等于-1了，增区间是[-1,1]，-1和1是它的两个零点，不是你说的（-1，1）

Answer 2

当a=-1或a=1时f'(x)=4+2ax-2x^3≥0仍然成立 所以a可以取等号
其实只要定义域包括-1和1 f（x）的增区间是（-1，1），[-1，1]，[-1,1),(-1,1]都是可以的
因为一个点上不存在单调性

补充：当知道为增（减）函数时，则导数大于等于（小于等于）0
当求单调（增减）性时，则令导数大于（小于）0
这是答高考大题的习惯规律

Answer 3

单调区间是否包括边界其实没什么区别
所以(-1,1)和[-1,1]其实是一样的

Answer 4

a=-1 增区间为（-1,2）当然若说是[-1,2]也是可以的 这个你问老师到底怎么规定的 我以前高中这种情况都是可以纳入的 别钻牛角尖

Answer 5

两个区间是一个意思，两种写法都可以，但是如果 是分开的两个区间就不能重复写，比如(-1,1)和[1,2]