Question

已知a，b，c为实数，a+b+c大于零，ab+bc+ac大于零，abc大于零，求证：a>0,b>0,c>0

Answer 1

由abc大于零可知。有两负一正和三个正数两种情况。
假如a>0,b<0,c<0
由a+b+c>0，得a>-(b+c)；由ab+bc+ac>0,得a<-bc/(b+c)
所以-(b+c)<-bc/(b+c),即b2+bc+c2<0,这与b<0,c<0矛盾。

Answer 2

设f(X)=(x-a)(x-b)(x-c),则f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc
由已知当x<0时，恒有f(x)<0.
显然a,b,c均不为零，不妨设a<0,则f(a)<0,这与f(a)=（a-a)(a-b)(a-c)=0矛盾。故a,b,c均为正数。