Question

函数y=Asin(ωx+φ)+b(ω>0,|φ|<π/2)在同一个周期内,当x=π/4时,y取最大值1,当x=7π/12时，y取最小值－3

(1)求函数的解析式y=f（x）
（2）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0<a<1），求在[0,2π]内的所有实数根之和

Answer 1

由题意知：T/2=7π/12-π/4=π/3，
所以T=2π/ω=2π/3，ω=3。
当x=π/4时,y取最大值，
所以 sin(3*π/4+φ)=1，又|φ|<π/2，则：
3*π/4+φ=π/2 ， φ=-π/4。
函数最大值为1，最小值为-3，则：
A+b=1，-A+b=-3，
所以A=2，b=-1。
故函数的解析式为：y=2sin(3x-π/4)-1。

由3x-π/4=kπ+π/2，得：
x=kπ/3+π/4， (k为整数)
函数f(x)的对称轴为：x=kπ/3+π/4，(k为整数)
因为0<=x<=2π，
所以x=π/4，x=7π/12，x=11π/12，x=15π/12，x=19π/12，x=23π/4。
是函数f(x)在[0,2π]内的对称轴。
又0<a<1，1<a+1<2，
方程f(x)=a，则：
1/2<sin(3x-π/4)<1，
结合函数图象，方程f(x)=a的解在(5π/36，13π/36)内，关于x=π/4对称；
在(29π/36，37π/36)内，关于x=11π/12对称；
在(53π/36，61π/36)内，关于x=19π/12对称；
所以方程f(x)=a在[0,2π]内的所有实数根之和为：
2*π/4+2*11π/12+2*19π/12=11π/2。

Answer 2

依题意的：π/4ω+φ=π/2
7π/12+φ=3π/2
∴ω=3,φ=-π/4
∴A+b=1
-A+b=-3
∴A=2，b=-1
∴y=2sin(3x-π/4)-1
（2）有图象可知，答案应该是0（不一定正确吧）

追问

第二题貌似对的。第一题;;

追答

另3x-π/4=0,π/2,π
∴x=π/12,π/4,5π/12
∴(π/12+π/4)(π/4-π/12)-π/12-π/4*2-5π/12=π²/18-2π（貌似是这样吧，呵呵-_-。sorry！）

Answer 3

b=(-3+1)/ 2=-1,A=1-(-3)=4
因为最大值与最小值之间相差1/2个周期，所以1/2T=7π/12-π/4，T=2/3π。所以ω=2π/T=3
把（π/4，1）代入得，Y=4sin(3*π/4+φ）-1=1，所以3π/4+φ=π/6+2kπ。即φ=2kπ-7π/12
因为|φ|<π/2，所以φ=5/12π。所以y=......
（2）依题意得，f（x）=a与y=....有交点。当x=7/36π，y=0,当x=π/4时,y取最大值1。因为T=2/3π，所以在（0,2π）有3个周期。在每个周期内，y=....关于x=7/36π+2kπ对称，所以在（0,2π）内与f（x）=a实数根之和...你自己算吧，那么多

Answer 4

y=2sin(1/3x）-1
……