Question

如图,在锐角三角形ABC中,AD,CF分别是BC,AB边上的高，AD、CF相交于E，BE的中点为P，AC的中点为Q，

如图,在锐角三角形ABC中,AD,CF分别是BC,AB边上的高，AD、CF相交于E，BE的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DF。问题（1）：求证：PQ所在直线是线段DF的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC=90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明。

Answer 1

（1）证明：连接PF, PD ,QF ,QD， PQ
因为AD ,CF分别是三角形ABC的高
所以角BDE=角ADC=角AFC=角BFE=90度
所以三角形ADC，三角形BDE，三角形AFC，三角形BFE都是直角三角形
因为点Q是AC的中点
所以QF ,QD分别是直角三角形AFC，直角三角形ADC的中线
所以QF=1/2AC
QD=1/2AC
所以QF=QD
因为P是BE的中点
所以PF, PD分别是直角三角形BFE和直角三角形BDE的中线
所以PF=1/2BE
PD=1/2BE
所以PF=PD
因为PQ=PQ
所以三角形PFQ和三角形PDQ全等（SSS)
所以角FPQ=角DPQ
所以PQ是三角形PFD的角平分线
因为PF=PD
所以三角形PFDD是等腰三角形
所以PQ是等腰三角形PFD的垂直平分线
所以PQ所在直线垂直平分DF
所以PQ所在直线是DF的垂直平分线
（2）上述结论仍然成立
证明：连接DQ ,FQ ,DP , FP， PQ
因为AD ,CF分别是三角形ABC的高
所以角ADC=角BDE=角AFC=角AFE=90度
所以三角形ADC ,三角形AFC ,三角形BDE，三角形AFE都是直角三角形
因为Q是AC的中点
所以DQ ,FQ分别是直角三角形ADC和直角三角形AFC的中线
所以DQ=1/2AC
FQ=1/2AC
所以DQ=FQ
因为P是BE的中点
所以DP ,FP分别是直角三角形BDE和直角三角形AFE的中线
所以DP=FP
因为PQ=PQ
所以三角形PDQ和三角形PFQ全等（SSS)
所以角DPQ=角FPQ
所以PQ是三角形PDF的角平分线
因为DP=FP
所以三角形PDF是等腰三角形
所以PQ是等腰三角形PDF的垂直平分线
所以PQ所在直线垂直平分DF
所以PQ所在直线是DF的垂直平分线