Question

在三角形abc中，ab=ac,角bac=120度，现将一直角三角板pmn的30度角顶点p放在底边bc的中点处，并将三角板绕p

在三角形abc中，ab=ac,角bac=120度，现将一直角三角板pmn的30度角顶点p放在底边bc的中点处，并将三角板绕p旋转。在旋转过程中，三角板的两边pm、pn（或延长线）与直线ab、ac分别交于点e、f，当三角板旋转至图a所示位置，即f与a重合时，易证三角形pef相似三角形bep，当三角板旋转至图b、图c所示位置，即点f不与a重合时，三角形pef与三角形bep之间是否存在上述关系？写出猜想并就图c加以证明。

Answer 1

仍然相似.
证明：连结AP，
∵AB=AC，∠BAC=120°，∴又∵∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°，
∵P是BC中点，
∴AP⊥BC，AP平分∠BAC.
∴∠BAP=60°.
∴∠PEA+∠APE=∠BAP=60°.
∵∠EPF=30°，
∴∠FPC+∠APE=90°-30°=60°，
∴∠PEA=∠FPC.
又∠B=∠C，
∴△BEP∽△CPF.
∴PE : FP=BE : PC.
∵BP=PC，
∴PE : FP=BE :BP，
又∠EBP=EPF=30°，
∴△BEP∽△EPF.

Answer 2

hjhj