Question

在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC上一点

在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC上一点，求PB的平方+PC的平方等于2PA的平方。

Answer 1

过程挺复杂，需要用到余弦定理，推导过程如下：
首先设PA＝a，PB＝b,PC=c,
则BC＝b＋c。
因为是等腰直角三角形，可设AB＝AC＝R，则
BC＝根号2R
所以b+c=根号2R。
（1式）
因为，根据已知条件定理，角BPA＋角APC＝180°
所以，根据三角函数定理，CosBPA＝－CosAPC，
所以，根据余弦定理，以及所设的AB、AC、BC等边，可得如下式子：
（a方＋c方－R方）/2ac＝－（a方＋b方－R方）/2ab，
由此化简后，可得
a方＝R方－bc
（2式）
根据1式，R＝（b＋c）/根号2
（3式）
将3式代入2式，得
a方＝〔（b+c）/根号2〕方－bc
a方＝1/2*(b+c）方-bc
再化简，得
a方＝1/2(b方＋c方）＋bc－bc
a方＝1/2(b方＋c方）
即
2PA方＝BP方＋PC方得证

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示