Question

已知函数f(x)=lnx-ax^2-x，a∈R。(1)若函数f(x)在其定义域内是单调增函数，求实

已知函数f(x)=lnx-ax^2-x，a∈R。(1)若函数f(x)在其定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=lnx-ax^2-x

求导得到f‘（x）=1/x-2ax-1
函数f(x)在其定义域内是单调增函数

故1/x-2ax-1>=0在（0，正无穷）上恒成立
所以a<=1/2(1/x^2-1/x)
当1/x=1/2时，1/2(1/x^2-1/x)有最小值-1/8
所以a<=-1/8

Answer 2

f'(x)=1/x-2ax-1.然后f(x)在定义域x>0内单调递增或递减.则1/x-2ax-1>=0或1/x-2ax-1<=0恒成立.
然后采用分离参数的方法得2a<=(1-x)/x^2或者2a>=(1-x)/x^2恒成立.
不妨设g(x)=(1-x)/x^2,g'(x)=(x-2)/x^3,当x>2时,g(x)单调递增,当x<2时,g(x)单调递减.当x=2时,g(x)有最小值g(2)=-1/4.
所以a<=-1/8.

Answer 3