Question

大一微积分极限与连续

如图大一微积分极限与连续 习题

Answer 1

1、当 x<0 时，g(x)=x<0<1 ，因此 f[g(x)]=[g(x)]^2=x^2 ；
当 x>=0 时，g(x)=e^x>=1 ，因此 f[g(x)]=lne^x=x ，
所以 f[g(x)]=｛x^2(x<0) ；x(x>=0) ，
明显函数在 （-∞，0）及（0，+∞）均连续，
在 x=0 处，左极限= 0^2=0 ，右极限=0 ，函数值=f(0)=0 ，所以函数在 x=0 处连续，
即函数在 R 上连续。
2、（抄错了。是 +∞ 还是 -∞ 结果可不一样啊。另外，如果是 ∞ ，对任意实数 a、b ，那个极限都不可能等于 1。就按 +∞ 来做吧）
√(x^2-x+1) -ax-b-1 分子有理化后为 [(x^2-x+1)-(ax+b+1)^2] / [√(x^2-x+1)+ax+b+1] ，
极限为 0 ，说明分子 1-a^2=0 ，-1-2a(b+1)=0 ，而分母中 a ≠ -1 ，
解得 a=1，b= -3/2 。（如果是 -∞ ，则 a= -1，b= -3/2）
3、看不清
4、（1）x< -1 时，分子分母同除以 x^(2n-1) ，分子极限为 1+0+0 ，分母极限为 x+0 ，
因此 f(x)=1/x ；
x= -1 时，显然 f(x)=(a-b-1)/2 ；
-1<x<1 时，f(x)=(0+ax^2+bx)/(0+1)=ax^2+bx ；
x=1 时，f(x)=(1+a+b)/(1+1)=(a+b+1)/2 ；
x>1 时，分子分母同除以 x^(2n-1) ，分子极限为 1+0+0 ，分母极限为 x+0，
因此 f(x)=1/x ；
综上，f(x)=｛1/x(x<-1 或 x>1) ；(a-b-1)/2(x= -1) ；ax^2+bx(-1<x<1) ；(a+b+1)/2(x=1) 。
（2）-1=(a-b-1)/2=a-b，a+b=(a+b+1)/2=1 ，解得 a=0 ，b=1 。
5、先求 x^2/ln(1+sinx) 的极限，罗比塔法则可得极限为 0 ，所以原极限为 0 。

追问

第三题

第2题里面为什么极限=0就可以推出分子分母就是那种情况呢