Question

已知函数f(x)=√3sinxcos²x+½ 求函数最小正周期和最大值 函数的单调递增区间

Answer 1

①f(x)=(√3)sinxcos²x+1/2
=[(√3)/2]sin2xcosx+1/2
=[(√3)/4][sin(2x+x)+sin(2x-x)]+1/2
=[(√3)/4](sin3x+sinx)+1/2
∵ sin3x、sinx的周期分别为2π/3、2π
∴f(x)=(√3)sinxcos²x+1/2周期为2π

②f(x)=(√3)sinxcos²x+1/2
=[(√3)/2]sinx(1-sin²x)+1/2
令g(t)=t-t³则
g'(t)=1-3t²
易得
g(t)=t-t³在t∈[-1，-1/√3]上递减、在t∈[-1/√3，1/√3]上递增、在t∈[1/√3，1]上递减且g(1)=1-1³=0、g(-1)=(-1)-(-1)³=0、g(1/√3)=(1/√3)-(1/√3)³=(2√3)/9、g(-1/√3)=(-1/√3)-(-1/√3)³=(-2√3)/9
从而
在t∈[-1，1]上
g(t)最大=g(1/√3)=(1/√3)-(1/√3)³=(2√3)/9
故 f(x)最大=[(√3)/2]g(1/√3)+1/2=5/6
③ f(x)为[(√3)/2]g(t)+1/2和t=sinx的复合函数，故f(x)=(√3)sinxcos²x+1/2的单调递增区间为[2kπ-arcsin(√3/3)，2kπ+arcsin(√3/3)]、[2kπ+π/2，2kπ+π/2+arcsin(√3/3)]、[2kπ+3π/2-arcsin(√3/3)，2kπ+3π/2]，k∈Z