Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x 恒满足f(x+2)=-f(x),当x属于【0,2】时，f(x)=2x^2-x,求证

1，求证其为周期函数
2，当x属于【2，4】时，球解析式
3计算f(0)+f(1)+........f(2011)
急，谢谢

Answer 1

1、证明：f(x+2)=-f(x), -f(x)=f(-x)
得f(x+2)=f(-x)
令x+2=t, -x=2-t
f(t)=f(2-t)
即f(x)=f(2-x)
-f(x)=-f(2-x)
得f(-x)=f(x-2)
所以f(x+2)=f(x-2)
f(x)=f(x+4)是以4为周期的周期函数
2、x属于【2，4】
则x-2属于【0，2】
f(x-2)=2(x-2)^2-(x-2)=2x2-9x+10
又f(-x)=f(x-2)=-f(x)
f(x)=-f(x-2)=-2x2+9x-10
3、
f(0)+f(1)+........f(2011)
=f(0)+f(1)+........f(2011)
=503*【f(0)+f(1)+f(2)+f(3)】
=503*【0+1+7-1】
=503*7
=3521

Answer 2

1.f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),由周期函数定义知，f(x)是以4为周期的周期函数。
2.函数f(x)是定义在R上的奇函数且当x属于【0,2】时，f(x)=2x^2-x,故x∈[-2,0)时，f(x)=-2x^2-x,

Answer 3

f(x+2)=-f(x),则、
f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
则f(x)是以4为周期的函数

当x属于【0,2】时，f(x)=2x^2-x
则x+2属于【2,4】
f(x+2)=-f(x)=-2x^2+x
令x+2=t,则
f(t)=-2(t-2)^2+t=-2t^2+9t-8
即：f(x)=-2x^2+9x-8 x∈【2,4】
f(0)=0，
f(1)=1
f(2)=6
f(3)=-f(1)=-1
f(4)=-f(2)=-6
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0
又f(x)是以4为周期的函数
则2011=4*502+3
所以，f(0)+f(1)+........f(2011)=f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(1)+f(2)+f(3)=6