Question

关于复数形式的问题，求大神解答。

我想请问一下复数的指数形式是怎么利用欧拉公式推导得来的，为什么e的iθ次方等于cosθ+isinθ？

Answer 1

在直角坐标系中，e^(iθ)表示单位长，与x轴夹角为θ
它表示的复数对于为cosθ+isinθ
所以e的iθ次方等于cosθ+isinθ

追问

为什么e^(iθ)表示单位长啊？

追答

解释反了。欧拉公式就是e^(iθ)=cosθ+isinθ，因为cosθ+isinθ表示单位长，所以e^(iθ)定义为单位长。复数的指数形式正是用欧拉公式定义出来的。

要说欧拉公式怎么来的话，要用到幂级数展开。
e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+…+(x^n)/n!+…，令x=iθ，展开式的实部刚好是cosθ的展开式，虚部刚好是sinθ的展开式，于是e^(iθ)=cosθ+isinθ，这就是欧拉公式。