Question

在三角形ABC中。已知sin^2A+sin^2B*sin^2C=sinB*sinC+sinC*sinA+sinA*sinB,求证三角形ABC是等边三角形

Answer 1

应当是sin^2A+sin^2B【+】sin^2C=sinB*sinC+sinC*sinA+sinA*sinB吧
括号中是要改的。
两边同乘以2
2sin²A+2sin²B+2sin²C=2sinB*sinC+2sinC*sinA+2sinA*sinB
移项配平方得
sin²A-2sinA*sinB+sin²B+2sin²A+2sin²B-2sinB*sinC+sin²C+sin²C-2sinC*sinA=0
即(sinA-sinB)²+(sinB-sinC)²+(sinC-sinA)²=0
所以有，sinA=sinB=sinC
在区间[0，π]上，能与sinA相等的只有sinA或sin(π-A)
显然，B,C不能等于（π-A）
故只有A=B=C,三角形为等边三角形

Answer 2

证明：由正弦定理,
a /sin A =b /sin B =c /sin C =2R,
其中 R 是外接圆半径.
则 sin A =a /(2R),
sin B =b /(2R),
sin C =c /(2R),

由已知,
(a^2) /(4R^2) +(b^2) /(4R^2) +(c^2) /(4R^2) =bc /(4R^2) +ca /(4R^2) +ab /(4R^2),
即 a^2 +b^2 +c^2 -ab -bc -ca =0.

又因为 (a-b)^2 =a^2 -2ab +b^2,
(b-c)^2 =b^2 -2bc +c^2,
(c-a)^2 =c^2 -2ca +a^2,
所以 (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 =2 (a^2 +b^2 +c^2 -ab -bc -ca)
=0.
所以 (a-b)^2 =(b-c)^2 =(c-a)^2 =0,
即 a-b =b-c =c-a =0,
即 a=b=c.

所以 三角形ABC是等边三角形.

= = = = = = = = =
1. 利用正弦定理，把三角函数问题转化为代数问题。
2. 由 a^2 +b^2 +c^2 -ab -bc -ca =0 能推出 a=b=c,
记住推导过程。