Question

在三角形ABC中,已知sin^2A+sin^2B+sin^2C＜2.则三角形ABC形状是? 如何证明.

Answer 1

sin^2A+sin^2B+sin^2C < 2
∴1 < 3 -(sin^2A+sin^2B+sin^2C)
∴2 < 3 +[1-2(sinA)^2]+[1-2(sinB)^2]+[1-2(sinC)^2]
∴2 < 3 + [cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)]
∴2 < 3 + [2cos(A+B)cos(A-B) + cos(2C)]
∴0 < 2cos(A+B)cos(A-B) + 2(cosC)^2
∴0 < cos(A+B)cos(A-B) + cos(A+B)·cos(A+B)
= cos(A+B)·[cos(A+B) + cos(A-B)]
= cos(A+B)·2·cosA·cosB
而 cosC = -cos(A+B)
∴ cosA·cosB·cosC < 0 ,即 cosA、cosB、cosC 其中一个为负值
∴A、B、C 有一个大于90°
∴△ABC 是 钝角三角形