设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P(非A|非B)=1,试证事件A与B相互独立
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记A'=非A，B'=非B
则P(A')=1-P(A),P(B')=1-P(B)
P(A'|B')=P(A'B')/P(B')
而P(A'B')=P(B')-P(AB')
=1-P(B)-P(A)+P(AB)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
∴P(AB)/P(B)+(1-P(B)-P(A)+P(AB))/(1-P(B))=1
=>P(AB)(1-P(B))+P(B)(1-P(B)-P(A)+P(AB))=P(B)(1-P(B))
=>P(AB)-P(AB)P(B)+P(B)-P(B)²-P(B)P(A)+P(B)P(AB)=P(B)-P(B)²
=>P(AB)-P(B)P(A)=0
即P(AB)=P(A)P(B)，A,B事件相互独立
则P(A')=1-P(A),P(B')=1-P(B)
P(A'|B')=P(A'B')/P(B')
而P(A'B')=P(B')-P(AB')
=1-P(B)-P(A)+P(AB)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
∴P(AB)/P(B)+(1-P(B)-P(A)+P(AB))/(1-P(B))=1
=>P(AB)(1-P(B))+P(B)(1-P(B)-P(A)+P(AB))=P(B)(1-P(B))
=>P(AB)-P(AB)P(B)+P(B)-P(B)²-P(B)P(A)+P(B)P(AB)=P(B)-P(B)²
=>P(AB)-P(B)P(A)=0
即P(AB)=P(A)P(B)，A,B事件相互独立
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