Question

已知三角形ABC的三边a大于b大于c且a+c=2b，A-C=二分之—派，求a：b：c

Answer 1

解: ∵ a c=2b, A-C=90°,
由正弦定理得
sinA sinC=2sinB
sinC=sin(A-90° )=-cosA
cosC=cos(A-90°)=sinA
∵ A B C=180°
sinA sinC=2sinB=2sin(A C)=2sinAcosC 2cosAsinC
sinA sinC=2sinAcosC 2cosAsinC
sinA sinC-2sinAcosC-2cosAsinC=0
sinA-cosA -2sinA sinA 2cosAcosA =0
2 sin＾2A 2 sinAcosA –sinA-2 sinAcosA-2cos＾2A cosA=0
(sinA-cosA)(2sinA 2cosA-1)=0
∵A-C=90°, A=C 90°A≠45°
sinA-cosA=0 不成立。
∴2sinA 2cosA-1=0
sinA cosA=1/2
sin^2A cos^2A 2sinAcosA=1/4
2sinAcosA=(1/4)-1=-3/4
2sinAsinC=3/4
sinAsinC=3/8
4sin^2B=(sinA sinC)^2=sinA^2 sinC^2 3/4=sinA^2 cosA^2 3/4=7/4
sinB=√7/4
sinA sinC=2sinB
sinA sinC=√7/2
sinAsinC=3/8
sinA, sinC是方程x^2-√7/2x 3/8=0 两根
sinC=(2√7-1)/8
sinA=√7/2-(2√7-1)/8 =(2√7 1)/8
sinB=√7/4
a:b:c= sinA: sinB: sinC=(2√7 1)/8
：√7/4：(2√7-1)/8=2√7 1：2√7：2√7-1
a:b:c=2√7 1：2√7：2√7-1

答题不易、
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