数学竞赛题（急） 10
已知C：x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx的图象有唯一交点，且交点的横坐标为a，则(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?答案是-4...
已知C： x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点，且交点的横坐标为a ，则
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?
答案是-4a
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(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?
答案是-4a
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圆心（0，1/2）,设y=sinx的点到圆心的距离为s(x),
则： s（x）=根号（x^2+(sinx-1/2)^2）
求导得：s'（x）=(x+(sinx-1/2)*cosx)/根号（x^2+(sinx-1/2)^2）
因 x=a是使得s(x)=r的唯一解，而且存在x使得s（x）大于r
故 s（x）- r>=0，
故 x=a使得s’(x)=0，
故 a+(sina-1/2)*cosa=0，即(sina-1/2)*cosa=-a。
故 (sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa=4*（sinx-1/2）*cosx=-4a
则： s（x）=根号（x^2+(sinx-1/2)^2）
求导得：s'（x）=(x+(sinx-1/2)*cosx)/根号（x^2+(sinx-1/2)^2）
因 x=a是使得s(x)=r的唯一解，而且存在x使得s（x）大于r
故 s（x）- r>=0，
故 x=a使得s’(x)=0，
故 a+(sina-1/2)*cosa=0，即(sina-1/2)*cosa=-a。
故 (sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa=4*（sinx-1/2）*cosx=-4a
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