Question

已知定义在［1，4］上的函数f(x)＝x2-2bx＋(b/4) (b≥1).

(1)求f(x)的最小值g(b). (2)求g(b)的最大值M. ps:(1)答案有两个：g(b)＝-b2＋b/4,1≤b≤4或-(31/4)b＋16,b＞4 跪求正解～

Answer 1

1. fx=(x-b)^2-b^2+b/4，抛物线开口向上
当1<=b<=4时，抛物线对称轴在定义域之间

所以当x=b时，取得最小值为-b^2+b/4
当b>4时，抛物线对称轴在定义域的右边，在定义域内，函数值为单调递减
所以当x=4时，取得最小值为16-8b+b/4=16-31b/4
2.当1<=b<=4时，gb=-b^2+b/4=-(b-1/8)^2+1/64
b=1/8取不到，在b的范围内抛物线开口向下，为单调递减趋势，所以当b=1时，取得最大值 为-3/4
当b>4时，gb=16-31b/4，是一条直线，随着b的增大而减小，所以当b=4时，取得最大值为-15
望采纳，谢谢

Answer 2

解，由题设知
y=(x-b)^2-b^2+b/4
因为b≥1，且函数的定义域[1,4]
函数开口向上，则最小值在x=b时取得
则最小值g(b)=f(b)=-b^2+b/4
(2)
由（1）知
g（x)=-x^2+x/4且x≥1
g(x)的导数g‘（x)=-2x+1/4,则当x≥1时
g'(x)<0恒成立
则当x≥1时g(x)单调递减
所以最大值g(x)max=g(1)=-3/4
是否可以解决您的问题？

Answer 3

(1)f(x)=(x2-2bx+b2)+b/4+b2=(x-b)2+b/4-b2
g(b)=b/4+b2
(2)
g(b)=-b/4+b2=-(b2-b/4+1/64)+1/64=-(b+1/8)2+1/64
b>=1
b+1/8>=9/8
(b+1/8)2>=81/64
-(b+1/8)2+1/64<=80/64=5/4