Question

已知函数f(x)是定义在r上的奇函数f(1)= 0,{xf'x-fx}\x2>0(x>0)则不等式x2fx>0的解

Answer 1

因为{ x f '(x)-f(x) } /x2>0 (x>0), 而且x2>0, 所以 x>0时, x f '(x)-f(x)>0, 所以f '(x) > f(x)/x 。而且f(x)在x>0时连续可导。
因为f(1)=0, 所以f '(1) > f(1)/1=0。即f(x)在1值处单调增加。

因为x=0不是最后那么不等式的解，而x不等于0时，x2>0，所以实际求的不等式就是f(x)>0。
因为f(x)是个奇函数，所以正负对称，我们可以先求x>0时的情况。

接下来分两种情况讨论。

情况1
若存在 p, 0<p<1, 使得f(x)=f(p)>0， 因为f(1) = 0, 那么在（p，1）上靠近p的地方，必然存在一段单调递减的区间（可以是非常短的一段），而且函数值 f(x)>0。对这段区间上任意的值q， 有
f '(q) < 0 < f(q)/q, 与上面得到的f '(x) > f(x)/x 矛盾。所以在（0，1）区间里，函数值f(x)<=0。
（接下来继续排除=0的情况）这时如果存在r, 0<r<1, 使得f(x)=f(r)=0。那么由于f '(x) > f(x)/x， 所以f '(r) > f(r)/r=0，所以f(x)在r值处单调增加。那么（r，1）上靠近r的地方必然有大于f(r)=0的值，与已经证明的这一段上f(x)<=0矛盾。所以这一段不存在这样的r值。
于是在（0，1）上，f(x)<0。

情况2
由于f(x)在1值处单调增加，那么在（1，正无穷）这一段上靠近1的地方，必然有一段函数值 f(x) > 0（这一段可能是靠近1的地方非常短的一段）。这样我们可以取出其中一个值m，在（1，m ]上，f(x)>0 强调一下， f(m)>0。
这时若在（m，正无穷）这一段上存在一个n值，使得f(n)<或=0，那么在（m，n）靠近m的地方，必然存在一段单调递减的区间（可以是非常短的一段），而且函数值 f(x)>0。对这段区间上任意的值q， 有f '(q) < 0 < f(q)/q, 与上面得到的f '(x) > f(x)/x 矛盾。所以在（m，正无穷）的区间里，函数值f(x)>0。于是在（1，正无穷）这一段上，f(x)>0。

综合一下：
在（0，1）上，f(x)<0；
f(1)=0;
在（1，正无穷）上，f(x)>0；

由于是奇函数，f(0)=0；

由奇函数的对称性质，可知：
在（负无穷，0）上，只有（-1，0）这一段f(x)>0。
所以结果是（-1，0）和（1，正无穷）。