Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,求数列{an}的通项公式.

需要详细过程

Answer 1

已知数列{a‹n›}的前n项和为S‹n›,且S‹n›=2a‹n›-1 求数列{a‹n›}的通项公式.
解：S₁=a₁=2a₁-1；∴a₁=1.
S₂=a₁+a₂=2a₂-1；∴a₂=a₁+1=2；
S₃=S₂+a₃=1+2+a₃=2a₃-1；∴a₃=4；
S₄=S₃+a₄=1+2+4+a₄=2a₄-1；∴a₄=8
S₅=S₄+a₅=1+2+4+8+a₅=2a₅-1；∴a₅=16.
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于是可推得通项公式为a‹n›=2ⁿ⁻¹ .
一般地，S‹n›=S‹n-1›+a‹n›=2a‹n›-1；∴a‹n›=1+S‹n-1›=1+[2a‹n-1›-1]=2a‹n-1›
∴q=a‹n›/a‹n-1›=2=常量，即{a‹n›}是一个首项为1，公比为2的等比数列。
其通项公式为a‹n›=2ⁿ⁻¹.

Answer 2

a1=S1=2a1-1，a1=1
Sn=2an-1，S（n+1）=2a（n+1）-1，
a（n+1）=S（n+1）-Sn=2a（n+1)-2an，
a（n+1)=2an，an是以1为首项，2为公比的等比数列；
an=2^（n-1)

Answer 3

分别求出前四项可知分别为2的n-1次幂即通项公式