Question

设f（X）=x²+px+q,求证：绝对值的f（1），绝对值的f（2），绝对值的f（3），中至少有一个不小于1/2

Answer 1

【证明】（反证法）
假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1/2,
注意到f(1)=1+a+b, f(2)=4+2a+b, f(3)=9+3a+b
所以f(1)+f(3)-2f(2)=2
根据绝对值不等式的性质可知
|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<1/2+1/2+2*1/2=2
又因为上式左边f(1)+f(3)-2f(2)=2
所以2<2,推出矛盾
所以假设不成立，故原命题得证！