Question

已知函数f(x)=ax^3+x^+bx（其中常数a、b∈R).g(x)=f(x)+f'（x)是奇函数。（1）求f(x)的表达式（2）讨论f(x

（2）讨论f(x)的单调性，并求g(x)在区间[1，2 ]上的最大值与最小值

Answer 1

g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3+x^+bx+3ax^2+2x+b
是奇函数 3a+1=0 a=-1/3 b=0
f(x)=-1/3x^3+x^2
f'(x)=-x^2+2x f'(x)>0 0<x<2 f(x)在 0<x<2上是增函数
f'(x)<0 x<0或x>2 f(x)在 x<0, x>2上是减函数
g(x)=-1/3x^3+2x
g'(x)=-x^2+2 令g'(x)=0 x=-√2或x=√2
x 1 (1,√2 ) √2 (√2,2) 2
g'(x0 + 0 -
g(x) 5/3 增 极大值4√2/3 减 4/3
g(x)在区间[1，2 ]上的最大值=4√2/3，最小值=4/3

追问

可答案是：在（-∞,-/2]，[/2,+∞)上是减函数，在[ -√2 ， √2 ]上是增函数

Answer 2

(1)f'(x)=3ax^2+2x+b,g(0)=b=0,g(1)=f(1)+f'(1)=4a+2b+3=4a+3,g(-1)=2a-1因为g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数，则g(1)+g(-1)=0，6a+2=0
a= -1\3 ,f(x)=-1\3x^3+x^2
(2) f'(x)=-x^2+2x, f'(x)>0,0<x<2,所以增区间是（0，2），减 区间是剩下那两部分了。 g'(x)=-x^2+2, g'(x)>0时，负根号2〈x〈根号2，所以g(x)在区间[1,2]上的最大值是 g(x)=g(根号2)=自己算，我不会用电脑表达，很麻烦 最小值是 g(2)=3\4

Answer 3

g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3+x^+bx+3ax^2+2x+b
是奇函数 3a+1=0 a=-1/3 b=0
f(x)=-1/3x^3+x^2
f'(x)=-x^2+2x f'(x)>0 0<x<2 f(x)在 0<x<2上是增函数
f'(x)<0 x<0或x>2 f(x)在 x<0, x>2上是减函数
g(x)=-1/3x^3+2x
g'(x)=-x^2+2 令g'(x)=0 x=-√2或x=√2
x 1 (1,√2 ) √2 (√2,2) 2
g'(x0 + 0 -
g(x) 5/3 增 极大值4√2/3 减 4/3
最大值=4√2/3，最小值=4/3

Answer 4

(x0
+
0
-
g(x)
5/x<3x^3+x^2
f',
x>(x)=-x^2+2x
f'2上是减函数
g(x)=-1/，最小值=4/(x)<2上是增函数
f'3
减
4/(x)>，2
]上的最大值=4√2/x<g(x)=f(x)+f'0
0<2
f(x)在
x<3x^3+2x
g',√2
)
√2
(√2;2
f(x)在
0<0;(x)=ax^3+x^+bx+3ax^2+2x+b
是奇函数
3a+1=0
a=-1/0或x>3
增
极大值4√2/3
g(x)在区间[1;3;(x)=0
x=-√2或x=√2
x
1
(1;0
x<,2)
2
g'(x)=-x^2+2
令g'3
b=0
f(x)=-1/

Answer 5

所以增区间是（0,g(1)=f(1)+f'(x)>0，负根号2〈x〈根号2，2），很麻烦
最小值是
g(2)=3\(x)=-x^2+2;(x)>,
f'x<,
g'(1)=4a+2b+3=4a+3,f(x)=-1\3
,g(0)=b=0;(x)是奇函数,2]上的最大值是
g(x)=g(根号2)=自己算，减
区间是剩下那两部分了，我不会用电脑表达,0<,g(-1)=2a-1因为g(x)=f(x)+f'，6a+2=0
a=
-1\0时;3x^3+x^2
(2)
f'，则g(1)+g(-1)=0;(x)=3ax^2+2x+b。
g'，所以g(x)在区间[1;(x)=-x^2+2x;2(1)f'

Answer 6

g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3+x^+bx+3ax^2+2x+b
是奇函数
3a+1=0
a=-1/3
b=0
f(x)=-1/3x^3+x^2
f'(x)=-x^2+2x
f'(x)>0
0<x<2
f(x)在
0<x<2上是增函数
f'(x)<0
x<0或x>2
f(x)在
x<0,
x>2上是减函数
g(x)=-1/3x^3+2x
g'(x)=-x^2+2
令g'(x)=0
x=-√2或x=√2
x
1
(1,√2
)
√2
(√2,2)
2
g'(x0
+
0
-
g(x)
5/3
增
极大值4√2/3
减
4/3
g(x)在区间[1，2
]上的最大值=4√2/3，最小值=4/3