Question

一个多元函数微分学的证明题

第二的画线处的式子为什么等于0，这个我不太懂

我自己在下面，完全凭感觉乱写了几步，然后代进去，能够得到 “等于0” 这个结论，不过我不肯定我这推倒方法是得的，难道真的能把 t 像那样，从偏微分符号中提出来么？真的能在偏微分符号中，利用题中给的等式做函数代换么？

如果我那样推不对的话，麻烦教我一个正确的推倒方法，得出 第二个红线处=0的结论

我还有个问题，题中愈证结论，还有一个f(x, y)为n次齐次函数，这句话在该题中起到一个什么作用？似乎没用上

Answer 1

你问题比较多我一一回答：
第一个问题：从你画第一个红线开始是后边推前边的证明这个你知道的吧？其实那里令t=1这个没什么用，不管它，而后面那个式子是对任意的x，y都恒成立的。于是用tx代替x，ty代替y也是成立的
或者这么说吧，设H(x,y)=xf'x(x,y)+yf'y(x,y)-nf(x,y) ,则对任意x，y都有H(x,y)=0
所以有H(tx,ty)=0 ,你第二个划线的括号里面正是H(tx,ty)
第二个问题：可以提出来的，为什么呢？因为d(tx)/dx =t 所以d（tx）=tdx
(如果不清楚，你设g(x)=tx,把t看成固定的数，那么d(g(x))/dx=(tx)'=t)
但是你用df(tx,ty)去比上d(tx)，这个意义不大，再好好研究一下复合函数求导。
第三个问题：要证的不就是齐次函数么，怎么用不上……用不上你怎么搞，你写的式子第二个等号用的不也是其次性么