Question

几何问题

如图，等腰梯形ABCD中，AD‖BC，E,F,G分别为AO,BO,CD的中点，∠BOC=60°。求证：△EFG为等边三角形。（提示：连接DE，CF）

Answer 1

因为等腰梯形ABCD中：
AB=CD,BC=BC,∠ABC=∠DCB
得到△ABC≌△BDC
得到：∠BAC=∠BDC
等腰三角形中：∠BAD=∠CDA
得到等式：∠BAD-∠BAC=∠CDA-∠BDC
即：∠OAD=∠ODA，又因为对角相等∠BOC=60°=∠AOD
所以△ADO是等边三角形
从等腰梯形平行线内错角相等原理得到：
∠OAD=∠OCB
∠ODA=∠OBC
所以：△BOC也是等边三角形

连接辅助线：CF，DE

因为E,F分别为AO,BO的中点，
得到辅助线连线是上述两个等边三角形的垂直平分线
∠FCE=∠FDE=30°
推出：CFED四点同圆
又因为DE⊥EC推出DC是CFED四点同圆的圆直径
G为DC的中点，即为圆心
依据圆心角是圆弧角的一倍得到：
∠FGE=2*∠FDE=60°
再根据○G的半径相等得到：
GE=GF

从而得到：△EFG为等边三角形。