Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(1)f(-1)=0,试判断函数零点个数（2）是否存在a,b,c使函数同时满足一下条件1.对

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(1)f(-1)=0,试判断函数零点个数（2）是否存在a,b,c使函数同时满足一下条件1.对任意x,f(x-4)=f(2-x)且f(x)>=0 . 2对任意x,都有0<=f(x)-x<=1/2(x-1)^2若存在，求出a,b,c的值，不存在，请说明理由 (3)若任意x1,x2,且x1<x2,f(x1)不等于f(x2)，试证明存在x0属于(x1,x2),使f(x0)=1/2[f(x1)+f(x2)]成立

Answer 1

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c
(1)f(-1)=0,试判断函数零点个数
(2)是否存在a,b,c使函数同时满足一下条件1.对任意x,f(x-4)=f(2-x)且f(x)>=0 . 2对任意x,都有0<=f(x)-x<=1/2(x-1)^2若存在，求出a,b,c的值，不存在，请说明理由
(3)若任意x1,x2,且x1<x2,f(x1)不等于f(x2)，试证明存在x0属于(x1,x2),使f(x0)=1/2[f(x1)+f(x2)]成立
(1)解析：∵函数f(x)=ax^2+bx+c，f(-1)=0==>a-b+c=0==>a+c=b
⊿=√(b^2-4ac)= √(a-c)^2
∴当a=c时，函数有一个零点；当a≠c时，函数有二个零点；
(2)解析：∵对任意x,f(x-4)=f(2-x)且f(x)>=0
f(x-4)=a(x-4)^2+b(x-4)+c=ax^2-(8a-b)x+16a-4b+c
f(2-x)= a(2-x)^2+b(2-x)+c=ax^2-(4a+b)x+4a+2b+c
∴8a-b=4a+b==>2a=b；16a-4b=4a+2b==>2a=b
a>0,a=c，∴f(x)=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2

又对任意x,都有0<=f(x)-x<=1/2(x-1)^2
即x<=f(x)<=1/2(x-1)^2+x=1/2x^2+1/2
ax^2+2ax+a<=1/2x^2+1/2
(a-1/2)x^2+2ax+(a-1/2)<=0
a-1/2<0==>a<1/2
4a^2-4(a-1/2)^2<=0
4a-1<=0==>a<=1/4

ax^2+2ax+a>=x==>ax^2+(2a-1)x+a>=0
a>0, (2a-1)^2-4a^2<=0==>1-4a<=0==>a>=1/4

∴a=1/4,f(x)= 1/4x^2+1/2x+1/4=1/4(x+1)^2
∴存在满足给定条件的a=1/4,b=1/2,c=1/4

Answer 2

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c
∴当a=c时，函数有一个零点；当a≠c时，函数有二个零点；
(2)解析：∵对任意x,f(x-4)=f(2-x)且f(x)>=0
f(x-4)=a(x-4)^2+b(x-4)+c=ax^2-(8a-b)x+16a-4b+c
f(2-x)= a(2-x)^2+b(2-x)+c=ax^2-(4a+b)x+4a+2b+c
∴8a-b=4a+b==>2a=b；16a-4b=4a+2b==>2a=b
a>0,a=c，∴f(x)=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2

又对任意x,都有0<=f(x)-x<=1/2(x-1)^2
即x<=f(x)<=1/2(x-1)^2+x=1/2x^2+1/2
ax^2+2ax+a<=1/2x^2+1/2
(a-1/2)x^2+2ax+(a-1/2)<=0
a-1/2<0==>a<1/2
4a^2-4(a-1/2)^2<=0
4a-1<=0==>a<=1/4

ax^2+2ax+a>=x==>ax^2+(2a-1)x+a>=0
a>0, (2a-1)^2-4a^2<=0==>1-4a<=0==>a>=1/4

∴a=1/4,f(x)= 1/4x^2+1/2x+1/4=1/4(x+1)^2
∴存在满足给定条件的a=1/4,b=1/2,c=1/4

Answer 3

（1)f(-1)=0 则a-b+c=0 b^2-4ac=(a-c)^2>=0 当a=c 有一个零点，当a不等于c 有两个。
（2）对任意x,f(x-4)=f(2-x)且f(x)>=0则对称轴为x=-1 且f(x)=a(x+1)^2 ,又因为对任意x,都有0<=f(x)-x<=1/2(x-1)^2所以a=1/4 则a=1/4 b=1/2 c=1/4
(3)当a>0时，取f(x)的最小值为m,则f(x1)+f(x2)>2m ,令t=[f(x1)+f(x2)]/2>m，则一定存在x0使得f(x0)=t.当a<0时，取f(x)的最大值为M,则f(x1)+f(x2)<2M ,令T=[f(x1)+f(x2)]/2<M，则一定存在x0使得f(x0)=T. 所以存在x0属于(x1,x2),使f(x0)=1/2[f(x1)+f(x2)]成立

Answer 4

1.有两个零点，你可以分类讨论a,从而判断c的符号

Answer 5

自己去问你的老师