Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若f(-1)=0试判断函数零点个数;若对x1,x2属于R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),

证明方程f(x)=1/2[f(x1)+f (x2)]必有一个实数根属于(x1,x2).

Answer 1

f(-1)=0,则一根为-1.由韦达定理,另一根为c/a,
故方程有两实根.
令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)]/2
g(x1)=[f(x1)-f(x2)]/2
g(x2)=[f(x2)-f(x1)]/2
g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]^2/4<0, 因此在(x1,x2)中至少有一实根.

Answer 2

A-B+C=0，即B=C+A
令AX^2+BX+C=0，
则△=b^2-4*a*c=B^2-4A*C=(C+A)^2-4A*C=(A-C)^2>=0
当A=C时，方程AX^2+BX+C=0 有两个相同的实根
当A≠C时，方程AX^2+BX+C=0有两个不同的实根