Question

已知圆x的平方+y的平方+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于p.q两点，o为原点，若op垂直oq,求实数的m值.

Answer 1

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)
根据OP⊥OQ：两直线斜率夹角90°，
y1×y2 + x1×x2 = 0 ①

将直线方程代入圆方程(置换掉x)：
(3-2y)^2 + y^2 + (3-2y) - 6y + m = 0
即 5y^2 - 20y + 12 + m = 0 有两实根y1、y2
y1 × y2 ＝ (m+12)/5 ②

将直线方程代入圆方程(置换掉y)：
x^2 + [(3-x)/2]^2 + x - 6[(3-x)/2] + m = 0
即 5x^2 + 10x -27 + 4m = 0 有两实根x1、x2
x1 × x2 ＝ (4m-27)/5 ③

利用②、③代入①式得到：
(4m-27)/5 + (m+12)/5 ＝0
m＝3

初始的圆方程为：
(x-1/2)^2 + (y-3)^2 = 9 + 1/4 - m = 25/4 ④
圆心O坐标为(-1/2，3)，半径为5/2
直线方程：x + 2y - 3 = 0 ⑤

Answer 2

解答：
分两类：（1）PQ的斜率不存在
斜率不存在则垂直x轴，过O
所以P和Q分别在两根坐标轴上
x+2y-3=0和坐标轴焦点是(3,0),(0,3/2)
则圆也过这两点
(3,0)代入，m=-9
（0，3/2）带入,m=-27/4
两个m不一样
所以不可能斜率不存在
（2）PQ的斜率存在
点差法
x^2+y^2+x-6y+m=0与x+2y-3=0相交于P、Q两点
x=3-2y
x^2+y^2+x-6y+m=0
(3-2y)^2^2+y^2+(3-2y)-6y+m=0
5y^2-20y+12+m=0
yP+yQ=4
yP*yQ=(12+m)/5
xP=3-2yP,xQ=3-2yQ
xP*xQ=(3-2yP)*(3-2yQ)=9-6(yP+yQ)+4yP*yQ
OP⊥OQ
k(OP)*k(OQ)=-1
(yP/xP)*(yQ/xQ)=-1
xP*xQ+yP*yQ=0
[9-6(yP+yQ)+4yP*yQ]+yP*yQ=0
9-6(yP+yQ)+5yP*yQ=0
9-6*4+5*(12+m)/5=0
m=3