Question

数学题 有关函数的

某小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第n棵树种植在点Pn（Xn，Yn）处，其中X1=1,Y1=1 ， 当n≥2时 ： Xn=Xn-1+1-5（[（n-1）／5]-[（n-2）／5]）
Yn=Yn-1+[（n-1）／5]-[（n-2）／5]
[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0。按此方案，第2009棵树种植点的坐标为___________ (注：n在P,X,Y的右下角，即n为P,X,Y下标，n-1也表示X，Y的下标）
答案是（4,402）

Answer 1

迭代
Xn－X(n-1)＝1－5{[(n-1)/5]-[(n-2)/5]}
X(n-1)－X(n-2)＝1－5{[(n-2)/5]-[(n-3)/5]}
……
X3－X2＝1－5([2/5]-[1/5])
X2－X1＝1－5([1/5]-[0/5])
将上面所有的式子加起来，得
Xn－X1＝(n－1)－5{[(n-1)/5]－[0/5]}
n＝2009时
X2009－X1＝(2009-1)－5[2008/5]＝2008－5×401＝3

所以，X2009＝3＋1＝4

同理
Yn－Y(n-1)＝[(n-1)/5]－[(n-2)/5]
Y(n-1)－Y(n-2)＝[(n-2)/5]－[(n-3)/5]
……
Y3－Y2＝[2/5]－[1/5]
Y2－Y1＝[1/5]－[0/5]
将上面所有的式子加起来，得
Yn－Y1＝[(n-1)/5]－[0/5]
n＝2009时
Y2009－Y1＝[2008/5]＝401

所以，Y2009＝401＋1＝402

所以，第2009棵树种植点的坐标为（4,402）

Answer 2

简单，这个规律和5有关。
对于横坐标Xn，为1，2，3，4，5的循环数列，要求Xn，只需n/5取余数即可；对于纵坐标Yn，每隔5个数递增1，即为数列1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，........。通项Yn=1+[n/5].带入n=2009,即得坐标。