Question

如下图直线l与抛物线Y^2=x交于A（x1，y1）B(x2,y2)两点，与X轴交于点M，且y1y2=-1，求证点M的坐标为（1，0

要过程，谢谢

Answer 1

M(m,0)
直线ly=k(x-m) x=y/k+m
Y^2=x 代入
y^2-y/k-m=0
y1y2=-m=-1 m=1
M的坐标为（1，0)

Answer 2

1）将F（0，1）代入y=kx＋b，解得b=1；
（2）过点F（0，1）的直线y=kx+1与抛物线 y=1/4x^2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，联立直线与抛物线解析式得1/4x^2-kx-1=0，所以x1•x2=-4；
（3）设直线l：y=-1交Y轴于F1，△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，
则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而F F1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，
另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，
故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．