Question

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R满足（1）(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)（2）f(0)≠0，f(π/2）=2
则f(π）= f（2π）=

Answer 1

你好，
分析：
（1）令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，解之即可求得f（0），再有x=x2+x2，即可证得对任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．
解答：解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0）
∵f（0）≠0
∴f（0）=1
又对于任意x∈R， f(x)＝f(x/2+x/2)＝[f(x/2)]²≥0又f(x/2)≠0，∴f（x）＞0
（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]
∵x1-x2＜0
∴f（x1-x2）＞f（0）=1
∴f（x1-x2）-1＞0
对f（x2）＞0
∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0
∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数

希望有所帮助，不懂可以追问，有帮助请采纳

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Answer 2

令x=y=0 2f(0)=2f^2(0) f(0)≠0 f(0)=1

令x=0 f(y)+f(-y)=2f(y) f(-y)=f(y) 是偶函数
令x=y=π/2 f(π)+f(0)=2f(π/2）f(π/2） f(π)=8-1=7
令x=y=π f(2π)+f(0)=2f(π）f(π） f(2π)=98-1=97

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追答

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R满足（1）(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)（2）f(0)≠0，f(π/2）=2
则f(π）= f（2π）=
这是你写的。

追问

请问f(π)+f(0)=2f(π/2）f(π/2） f(π)=8-1=7 是怎么来的？能详细点吗？

追答

f(π)+f(0)=2f(π/2）f(π/2）
由前面知，f(0)=1 f(π/2）=2
f(π)=2f(π/2）f(π/2）-f(0)=2*2*2-1
f(π)=8-1=7