Question

fx是定义在（0，+∞）上的增函数 f(x/y)=f(x)-f(y)

f(6)=1 解不等式f(x+3)-f(1/x)<2

Answer 1

f(x/y)=f(x)-f(y)
f(x+3)-f(1/x)=f[(x+3)/(1/x)]=f[x(x+3)]=f(x^2+3x)<2
令x=36，y=6，那么f(36/6)=f(36)-f(6)，即f(6)=f(36)-f(6)
所以f(36)=2f(6)=2，所以f(x^2+3x)<f(36)
所以0<x^2+3x<36
x^2+3x=x(x+3)>0，所以x>0，或x>-3；
x^2+3x-36<0，所以(-3-3√17)/2<x<(-3+3√17)/2
所以0<x<(-3+3√17)/2

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Answer 2

由定义域知x＞0
f（x/y)=f(x)-f(y),
令y=1得f(x)=f(x)-f(1),
又f(x)在（0,+∞）上的增函数，则f(1)=0
又f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
原不等式f(x+3)-f(1/x)<2可化为
f(x+3)+f(x)<2
再化为f(x+3)-1<1-f(x)
即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)
即f(x+3/6）＜f（6/x）
则0＜(x+3）/6＜6/x
解得0＜x＜（3被根号17 -3）/2
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