Question

如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0,1）、B（-3根号3,1）、C（-3根号3,0）、O（0,0）.

如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0,1）、B（-3根号3,1）、C（-3根号3,0）、O（0,0）.将此矩形沿着过E（-根号3,1）、F（-4根号3/3,0）的直线EF向右下方翻折，B，C的对应点分别为B'，C'.

（1）.求折痕所在直线EF的解析式；

（2）.一抛物线经过B、E、B'三点，求此二次函数抛物线；

（3）.能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出P点坐标；若不能，说明理由。

Answer 1

　　（2010 岳阳）如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置．
（1）求C1点的坐标；
（2）求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
（4）抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF：S△OAB=16：3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

　　解：（1）利用等边三角形的性质可得C1（3，

　　√
　　3

　　）；

（2）∵抛物线过原点O（0，0），设抛物线解析式为y=ax2+bx，
把A（2，0），C′（3，

　　√
　　3

　　）代入，得

　　4a+2b=0
　　9a+3b=

　　√
　　3

　　

　　

　　，
解得a=

　　√
　　3

　　

　　3
　　，b=-
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　，
∴抛物线解析式为y=

　　√
　　3

　　

　　3
　　x2-
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　x；

（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°，
又∵AB=2，
∴AF=4，
∴OF=2，
∴F（-2，0），
设直线BF的解析式为y=kx+b，
把B（1，

　　√
　　3

　　），F（-2，0）代入，得

　　k+b=

　　√
　　3

　　

　　-2k+b=0
　　

　　，
解得k=

　　√
　　3

　　

　　3
　　，b=
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　，
∴直线BF的解析式为y=

　　√
　　3

　　

　　3
　　x+
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　；

（4）①当M在x轴上方时，存在M（x，

　　√
　　3

　　

　　3
　　x2-
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　x），
S△AMF：S△OAB=[
　　1
　　2
　　×4×（

　　√
　　3

　　

　　3
　　x2-
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　x）]：[
　　1
　　2
　　×2×

　　√
　　3

　　]=16：3，
得x2-2x-8=0，解得x1=4，x2=-2，
当x1=4时，y=

　　√
　　3

　　

　　3
　　×42-
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　×4=
　　8

　　√
　　3

　　

　　3
　　，
当x1=-2时，y=

　　√
　　3

　　

　　3
　　×（-2）2-
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　×（-2）=
　　8

　　√
　　3

　　

　　3
　　，
∴M1（4，
　　8

　　√
　　3

　　

　　3
　　），M2（-2，
　　8

　　√
　　3

　　

　　3
　　）；
②当M在x轴下方时，不存在，设点M（x，

　　√
　　3

　　

　　3
　　x2-
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　x），
S△AMF：S△OAB=[-
　　1
　　2
　　×4×（

　　√
　　3

　　

　　3
　　x2-
　　2

　　√
　　3

　　

　　3
　　x）]：[
　　1
　　2
　　×2×

　　√
　　3

　　]=16：3，
得x2-2x+8=0，b2-4ac＜0无解，
综上所述，存在点的坐标为M1（4，
　　8

　　√
　　3

　　

　　3
　　），M2（-2，
　　8

　　√
　　3

　　

　　3
　　）．

Answer 2

不能