Question

一道初二数学题 求解

小芳在计算a+(bc-a²)/（a²+b²+c²）(a,b,c互不相等)时，发现若交换a与b时，这个式子的值不变；若把a和c交换时，这个式子的值也不变，如果a+b+c=1，请你求出这个不变的值。
步骤详细再给100分 ！！
（bc-a²)/（a²+b²+c²）是一个分式 不好意思没写清楚

Answer 1

a+(bc-a²)/（a²+b²+c²）(a,b,c互不相等)时，发现若交换a与b时，这个式子的值不变，则
a+(bc-a²)/（a²+b²+c²）=b+(ac-b²)/（b²+a²+c²）
通分去分母，得a（a²+b²+c²）+(bc-a²)=b（b²+a²+c²）+(ac-b²)
整理，得(a-b)(a²+b²+c²-a-b-c)=0
又a+b+c=1，所以上式变为(a-b)(a²+b²+c²-1)=0，
因为a,b,c互不相等，则a-b≠0，所以a²+b²+c²-1=0，所以a²+b²+c²=1
所以a+(bc-a²)/（a²+b²+c²）=a+bc-a²
又交换a与b时，这个式子的值不变；若把a和c交换时，这个式子的值也不变，
所以a+bc-a²=b+ac-b²=c+ba-c²
所以a+bc-a²=(a+bc-a²+b+ac-b²+c+ba-c²)/3
=(2a+2bc-2a²+2b+2ac-2b²+2c+2ba-2c²)/6
=(2a+2b+2c-3a²-3b²-3c²+a²+b²+c²+2bc+2ac+2ba)/6
=[2(a+b+c)-3(a²+b²+c²)+(a+b+c)²]/6
=(2-3+1)/6
=0
所以
这个不变的值是0

Answer 2

依题意知：
M=a+(bc-a²)/(a²+b²+c²)=b+(ac-b²)/(a²+b²+c²)=c+(ba-c²)/(a²+b²+c²)，
所以
(a-b)[1-(a+b+c)/(a²+b²+c²)]=0，
(b-c)[1-(a+b+c)/(a²+b²+c²)]=0，
(c-a)[1-(a+b+c)/(a²+b²+c²)]=0，
又a+b+c=1，所以
(a-b)[1-1/(a²+b²+c²)]=0，
(b-c)[1-1/(a²+b²+c²)]=0，
(c-a)[1-1/(a²+b²+c²)]=0，
又a,b,c互不相等，
所以1-1/(a²+b²+c²)=0，
a²+b²+c²=1，
所以M=a+(bc-a²)=b+(ac-b²)=c+(ab-c²)，
3M=a+(bc-a²)+b+(ac-b²)+c+(ab-c²)
=(a+b+c)+ab+bc+ca-(a²+b²+c²)
=ab+bc+ca。
又(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)，
所以2(ab+bc+ca)=(a+b+c)²-(a²+b²+c²)=0，
ab+bc=ca=0，
所以3M=0，M=0。
故所求M=a+(bc-a²)/(a²+b²+c²)=0。

Answer 3

交换a和b a+(bc-a^2)/(a^2+b^2+c^2)=b+(ac-b^2)/(a^2+b^2+c^2)
a-b=(a^2-b^2+c(a-b))/(a^2+b^2+c^2)
由于a,b,c互不相等，同除a-b
a^2+b^2+c^2=a+b+c
则ab+bc+ca=((a+b+c)^2-a^2+b^2+c^2)/2=(1-1)/2=0
原式=a+(bc-a^2)/1=a+bc-a^2=b+ac-b^2=c+ab-c^2 (交换a与b, 交换a与c)
=(a+b+c+bc+ac+ab-a^2-b^2-c^2)/3=(1+0-1)/3=0
不变的值是0

Answer 4

只要另a=b=c=1/3,即可满足要求。所以这个不变值是1/3.

Answer 5

a+(bc-a²)做分子还是只有bc-a²做分子？

Answer 6

好难啊