Question

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac．

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；
（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

Answer 1

(1)与x轴有一交点△=0,b^2-4ac=0,b+4ac=0,b^2+b=0,b≠0,b=-1,由于x=0时,y=1所以c=1,所以a=1/4
y=1/4x^2-x+1
(2)BC为直径的圆过A,所以BA⊥AC,AB斜率为-1/2,AC斜率为2所以AC:y=2(x-2)
1/4x^2-x+1=2(x-2),x^2-12x+20=0,(x-2)(x-10)=0所以x=10所以y=16所以c(10,16)
直径=25,有勾股定理得p(5,17/2)
(3)(xB+xC)/2=xP
(yB+yC)/2=yP

Answer 2

(1)抛物线y=ax^2+bx+c与y轴的交点为B（0，1），从而得到c=1。所以b=-4a，所以抛物线y=ax2+bx+c变为y=ax2-4ax+1,因为顶点A在x轴上，所以A的纵坐标可以设为(4a-16a^2)/4a,因为顶点坐标在X轴上，所以A的纵坐标为0.算得a=1/4,b=-1,c=1.抛物线的解析式为y=(1/4)x^2-x+1
(2)假设抛物线上存在一点C(x0,yo)使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A,则有P(x0/2,(y0+1)/2),所以（1/2）BC=PA，（两点间距离公式）由此式子可以算出x0的值，从而得到y0的值，所以C点坐标就求出了。
（3）由（2）观赛即可。