Question

如图，抛物线y=x^2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与Y轴交于C（0，-3），与X轴交于A,B两点（A在B左侧）

若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使A,B,E,F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标。若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：要使A,B,E,F为顶点的四边形为平行四边形，则EF必须与AB平行且相等，依题意，把D、C两点代入抛物线y=x^2+bx+c，解得b=2，c=-3，求得抛物线的解析式为y=x^2+2x-3，可解得A（-3，0）、B（1，0）。所以AB=4，设F的横坐标为x，因为AB=EF=4，所以Ix+1I=4，解得x=3,或x=-5
y=12，所以点F的坐标为（-5，12）或（3，12）。
当AB为对角线时，则EF也为对角线，根据平行四边形的性质，F点应于抛物线的顶点重合，即F点的坐标为（-1，-4）。