Question

抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形； （3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得 ，-b/2=-1,4c-b²／4=-4 b=2，c=﹣3， 则解析式为：y=x²+2x﹣3；
（2）∵y=x²+2x﹣3， ∴x=1或x=﹣3， 由题意点A（﹣3，0）， ∴AC= √9＋9＝3√2，CD=√1＋1＝√2 ，AD= √4＋16＝2√5， 由AC²+CD²=AD²， 所以△ACD为直角三角形；
3，若AB为一边，则EF平行且等于AB等于4，则E、F的纵坐标相等，设F(X1,Y1)，则X1=-5 Y1=12或X1=3 Y1=12，
若AB为对角线，则EF也为对角线，因E在对称轴上，根据平行四边形的性质，对角线平分，所以只有顶点D符合。
因此F点为（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）

Answer 2

解：（1）由题意得 ，-b/2=-1,4c-b²／4=-4 b=2，c=﹣3， 则解析式为：y=x²+2x﹣3； （2）∵y=x²+2x﹣3， ∴x=1或x=﹣3， 由题意点A（﹣3，0）， ∴AC= √9＋9＝3√2，CD=√1＋1＝√2 ，AD= √4＋16＝2√5， 由AC²+CD²=AD²， 所以△ACD为直角三角形； 3）由（2）知ME取最大值时ME=9／4 ，E（3／2 ，﹣15／4 ），M（3／2 ，﹣3／2 ）， ∴MF=3／2 ，BF=OB﹣OF=3／2 ． 设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形， 则BP∥MF，BF∥PM． ∴P1（0，﹣3／2 ）或P2（3，﹣3／2 ）， 当F1（0，﹣3／2 ）时， 由（1）知y=x²＋2x﹣3=﹣3≠﹣3/2， ∴P1不在抛物线上． 当P2（3，﹣3/2 ）时，由（1）知y=x²＋2x﹣3=3≠﹣3／2 ， ∴P2不在抛物线上． 综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形

Answer 3

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