Question

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若方程f

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在 [- 1 2 ，1] 上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m） n ＜（1+n） m ．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a ①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数    …（1分） ②当a＞0时，f（x）在 (-1， e 1-a a -1] 上递增，在 [ e 1-a a -1，+∞) 单调递减．…（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在 [- 1 2 ，0] 上单调递增，在[0，1]上单调递减 又 f(0)=0，f(1)=1-ln4，f(- 1 2 )=- 1 2 + 1 2 ln2 ∴ f(1)-f(- 1 2 )＜0 ∴当 t∈[- 1 2 ，+ 1 2 ln2，0) 时，方程f（x）=t有两解   …（8分） （Ⅲ）要证：（1+m） n ＜（1+n） m 只需证nln（1+m）＜mln（1+n）， 只需证： ln(1+m) m ＜ ln(1+n) n 设 g(x)= ln(1+x) x ，(x＞0) ，则 g / (x)= x 1+x -ln(1+x) x 2 = x-(1+x)ln(1+x) x 2 (1+x) …（10分） 由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减    …（12分） ∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n ∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          …（14分）