Question

已知函数f（x）满足f（logax）=aa2?1(x?x?1)，其中a＞0且a≠1（1）解不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0；（2）

已知函数f（x）满足f（logax）=aa2?1(x?x?1)，其中a＞0且a≠1（1）解不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0；（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求a的范围．

Answer 1

解答：（本题12分）解；（1）设log_ax=t，则x=a^t，所以f(logax)＝f(t)＝

a

a2?1

(at?a?t)
故f(x)＝

a

a2?1

(ax?a?x)当a＞1时，a²-1＞0，设g（x）=a^x-a^-x，
设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
因为g(x1)?g(x2)＝(ax1?a?x1)?(ax2?a?x2)＝(ax1?ax2)+(

1

ax2

?

1

ax1

)=(ax1?ax2)(1+

1

ax1+x2

)
因为，x₁＜x₂且a＞1，故ax1＜ax2，所以g(

x

1

)＜g(x2)
所以，g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
当0＜a＜1时，a²-1＜0，同理可证f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
又f(?x)＝

a

a2?1

(a?x?ax)＝?f(x)，所以f（x）是奇函数
由f（1-m）+f（1-m²）＜0得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）
因为f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，所以1-m＜m²-1即m²+m-2＞0解得m＜-2或m＞1
（2）由上，f（2）-4≤0即

a

a2?1

(a2?a?2)≤4．解得2?

3

≤a≤2+

3